Вычисление матрицы в MS Excel

Содержание: 

Матрицы

Операции с матрицами

  Транспонирование

  Вычисление  определителя матрицы

  Нахождение  обратной матрицы

  Сложение и  вычитание матриц

  Умножение матрицы  на число

  Умножение матриц

Список литературы

2

4

4

6 

7

9

10

11

14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Средства MS Excel оказываются весьма полезны в линейной алгебре, прежде всего для операций с сматрицами и решения систем линейных уравнений. 

Матрицы

Значительная часть  математических моделей различных  объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при  решении линейных уравнений мы имеем  дело с матрицами и арифметическими  действиями с ними. Что же такое  матрица? Как выполняются действия с матрицами?

Матрицей размера  m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: a_ij , где I – номер строки, а j – номер столбца. Например, матрица А размером m×n может быть представлена в виде:

 
 
 
 
 
 

где i=1, …, m; j=1, …, n.

Две матрицы А  и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть a_ij=b_ij  для любых i=1,2, …, m; j=1,2, …, n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой: 

а из одного столбца  – матрицей (вектором)-столбцом:

 
 
 
 
 

Если число строк матрицы равно  числу столбцов и равно n, то такую матрицу называют квадратной n-го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:  
 
 
 

Если у элемента матрицы a_ij номер столбца равен номеру строки (i=j), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы

Квадратная матрица  с равными нулю всеми недиагональными  элементами называется диагональной.

Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и все диагональные элементы равны единице. Единичная  матрица имеет следующий вид: 
 
 
 
 
 
 
 

Различают единичные матрицы первого, второго, третьего и т. д. порядков: 
 
 
 
 
 
 
 
 

Матрица любого размера  называется нулевой или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Операции  с матрицами

Как и над числами, над матрицами можно проводить  ряд операций, причём в случае с  матрицами некоторые из операций являются специфическими. 

Транспонирование

Транспонированной называется матрица (А^Т), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

В сокращённой записи, если А= (a_ij), то А^Т= (a_ji).

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Для обозначения  транспонированной матрицы иногда используют символ «’» (A’). Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (А^Т).

Из определения  транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет  размер m×n, то транспонированная матрица А^Т имеет размер n×m.

Для осуществления  транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Функция имеет вид  ТРАНСП (массив). Здесь массив – это  транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что  первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

Пример 1.1 Предположим, что диапазон ячеек A1:E2 введена матрица размера 2×5

 
 
 

Необходимо получить транспонированную матрицу.

Решение.

1. Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, A4:B8.

2. Нажмите на панели  инструментов Стандартная кнопку  Вставка функции.

3. В появившемся  диалоговом окне Мастер функций  в рабочем поле Категория выберите  Ссылки и массивы, а в рабочем  поле Функция – имя функции  ТРАНСП (рис. 1.1). После этого щелкните  на кнопке ОК.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1.1. Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций 

4. Появившееся диалоговое  окно ТРАНСП мышью отодвиньте  в сторону от исходной матрицы  A1:E2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.2).

 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1.2. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

5. Если транспонированная  матрица не появилась в диапазоне  A4:B8, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER. 
 
 
 

В результате в диапазоне A4:B8 появится транспонированная матрица: 
 
 
 
 
 
 
 

Вычисление  определителя матрицы 

Важной характеристикой  квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов  массива. Определитель матрицы А  обозначается как |А| или ∆.

Определителем матрицы  первого порядка А = (а₁₁), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁.

∆₁ = |А| = а₁₁

Определителем матрицы  второго порядка А = (a_ij), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

 
 
 

Произведения а₁₁а₂₂ и а₁₂а₂₁ называются членами определителя второго порядка.

С ростом порядка  матрицы n резко увеличивает число членов определителя (n!). Например, при n=4 имеем 24 слагаемых. Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. При применении компьютера в использовании этих приемов нет необходимости.

В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Функция имеет вид  МОПРЕД(массив).

Здесь массив – это  числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством  строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:С3; или как массив констант, например, {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3×3), определитель вычисляется следующим образом:

 
 

Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы.

Пример 1.2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:С3 введена матрица:

 
 
 
 

Необходимо вычислить  определитель этой матрицы.

Решение

1. Табличный курсор  поставьте в ячейку, в которую  требуется получить значение  определителя, например, А4.

2. Нажмите на панели  инструментов Стандартная кнопку  Вставка функции.

3. В появившемся  диалоговом окне Мастер функций  в рабочем поле Категория выберите  Математические, а в рабочем поле  Функция – имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке  ОК.

4. Появившееся диалоговое окно  МОПРЕД мышью отодвиньте от  исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке) Нажмите кнопку ОК (рис. 1.3). 
 
 
 
 

Рис. 1.3. Пример заполнения диалогового окна МОПРЕД 

В ячейке А4 появится значение определителя – 6. 

Нахождение  обратной матрицы 

Для каждого числа  а≠0 существует обратное число а^-1, и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

 

как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

Необходимым и достаточным  условием существования обратной матрицы  является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля (|А|≠0); в противном случае (|А|=0) матрица называется вырожденной или особенной.

Существуют специальные  достаточно сложные алгоритмы для  ручного вычисления обратных матриц. В качестве примера того, как вычисляется  обратная матрица, рассмотрим квадратную матрицу второго порядка 

 
 
 

Тогда обратная матрица  вычисляется следующим образом:

 
 
 

В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.

Функция имеет вид  МОБР(массив).

Здесь массив – это  числовой массив с равным количеством  строк и столбцов. Массив может  быть задан как диапазон ячеек, например А1:С3; как массив констант, например, {1;2;3;4;5;6;7;8;9} или как имя диапазона или массива.

Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы.

Пример 1.3. Пусть в диапазон ячеек А1:С3 введена матрица 
 
 
 
 

Необходимо получить обратную матрицу.

Решение

1. Выделите блок  ячеек под обратную матрицу,  например блок ячеек А5:С7  (указателем  мыши при нажатой левой кнопке).

2. Нажмите на панели  инструментов Стандартная кнопку  Вставка функции. В появившемся  диалоговом окне Мастер функций  в рабочем поле Категория выберите  Математические, а в рабочем поле  Функция – имя функции МОБР. После этого щелкните на кнопке  ОК.

3. Появившееся диалоговое  окно МОПРЕД мышью отодвиньте  от исходной матрицы и введите  диапазон исходной матрицы А1:С3  в рабочее поле Массив (указателем  мыши при нажатой левой кнопке).

4. Нажмите сочетание  клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.4). 

 
 

Рис. 1.4. Пример заполнения диалогового окна МОБР 

5. Если обратная  матрица не появилась в диапазоне  А5:С7, то следует щелкнуть указателем  мыши в строке формул и повторить  нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне  А5:С7 появится обратная матрица:

 
 
 
 

 Сложение и вычитание матриц 

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) размера m×n называется матрица C = A + B, элементы которой c_ij = a_ij + b_ij для i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n (то есть матрица складывается поэлементно). Например, если: