Системы счисления

Системы счисления 

1. Введение
2. Двоичная система
3. Восьмеричная система
4. Шестнадцатеричная система

Системы счисления 

Тема 1. Введение

3 

Определения 

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.

Числа: 
123, 45678, 1010011, CXL

Цифры:  
0, 1, 2, …         I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр.  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типы  систем счисления:

• непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
• позиционные – зависит…

4 

Непозиционные системы 

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,  
1 камень, 1 баран, …) 
 
 
 

Римская: 
I – 1 (палец),    V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),     
X – 10 (две ладони),    L – 50,  
C – 100 (Centum),  D – 500 (Demimille),    
M – 1000 (Mille)

5 

Римская система счисления 

Правила:

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
• Примеры:  
•         MDCXLIV =

 

1000 

+ 500 

+ 100 

– 10 

+ 50 

– 1 

+ 5 

2389 = 2000   +   300   +    80    +    9 

2389 = M M C C C L X X X I X 

M M 

CCC 

LXXX 

IX 

= 1644

6 

Римская система счисления 

Недостатки:

• для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
• как записать дробные числа?
• как выполнять арифметические действия: 
         CCCLIX + CLXXIV =?
• Где используется:
• номера глав в книгах:
• обозначение веков: «Пираты XX века»
• циферблат часов

7 

Славянская  система счисления 

алфавитная  система счисления (непозиционная) 

Часы  Суздальского Кремля

8 

Позиционные системы 

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Десятичная  система:  
первоначально – счет на пальцах 
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
Основание (количество цифр): 10 

3  7  8 

2    1    0 

разряды 

сотни   десятки   единицы 

8 

70 

300 

= 3·10² + 7·10¹ + 8·10⁰ 

Другие  позиционные системы:

• двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Системы счисления 

Тема 2. Двоичная система  счисления

10 

Перевод целых чисел 

Двоичная  система:  
Алфавит: 0, 1 
Основание (количество цифр): 2 

10  2 

2  10 

19 

2 

9 

18 

1 

2 

4 

8 

1 

2 

2 

4 

0 

2 

1 

2 

0 

2 

0 

0 

1 

19 = 10011₂ 

система счисления 

10011₂ 

4 3 2 1 0 

разряды 

= 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

= 16 + 2 + 1 = 19

11 

Метод подбора 

10  2 

77 = 64 + 

77 

 

77 

64 

Разложение  по степеням двойки:

            77 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2⁰  

+ 8 + …  

+ 4 + …  

+ 1 

77 = 1001101₂ 

6 5 4 3 2 1 0 

разряды 

наибольшая  степень двойки, которая меньше или  равна заданному числу 

77 = 12⁶ + 02⁵ + 02⁴ + 12³ +12² +02¹ + 1 2⁰ 

13 

13 

5 

1 

5 

1 

8 

4 

1

12 

Перевод дробных чисел 

10  2 

2  10 

0,375 =

      2 

101,011₂ 

2 1 0 -1 -2 -3 

разряды 

= 1·2² + 1·2⁰ + 1·2^-2 + 1·2^-3

= 4  + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375 

   ,750 

0 

0,75

  2 

   ,50 

1 

0,5

  2 

   ,0 

1 

0,7 = ? 

0,7 = 0,101100110…

       = 0,1(0110)₂ 

Многие дробные  числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. 

Для их точного  хранения требуется бесконечное число разрядов. 

Большинство дробных чисел  хранится в памяти с ошибкой. 

2^-2 =        = 0,25 

2² 

1 

0,011₂

13 

Арифметические  операции 

сложение 

вычитание 

0+0=0  0+1=1

1+0=1  1+1=10₂

1 + 1 + 1 = 11₂ 

0-0=0  1-1=0

1-0=1  10₂-1=1 

перенос 

заем 

      1 0 1 1 0₂

+ 1 1 1 0 1 1₂ 

1 

 

0 

0 

 

0 

1 

1 

0 

₂ 

   1 0 0 0 1 0 1₂

–       1 1 0 1 1₂ 

0 

₂