Расчет жесткого стержня

8. Обоснование применения  метода Зейделя. 

      Исходная  СЛАУ имеет на главной диагонали  элементы равные нулю,

A11 = 0,   A22 = 0,   A33 = 0,

следовательно, метод Зейделя применять нельзя.

      Использование численного метода Зейделя для решения  построенной СЛАУ возможно после  ее преобразования. Для этого необходимо применить к СЛАУ схему выбора главных элементов. В исходной СЛАУ переставим уравнения местами:

      первое  уравнение поставим на второе место; (А22= L1-c1),

      второе  уравнение поставим на третье место; (A33=-L2),

      третье  уравнение поставим на первое место, (A11=L1-c1).

В результате на главной диагонали матрицы  А отсутствуют члены равные нулю.

Для повышения  сходимости итерационного процесса поиска решения матрица А должна быть диагонально преобладающей:

S | Aij | < | Aii |,   i = 1,2,...,n.

      j ¹ i

Преобразованная СЛАУ имеет вид: 

              

 

 

Условия применения метода Зейделя выполняются, следовательно, метод Гаусса можно использовать для решения преобразованной СЛАУ.

       9.Блок  – схема алгоритма 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

       10.Программа.

CLS

N = 3

DIM A(N, N), R(N), B(N), Z(N)

PRINT   TAB(10); "Исходные данные"

INPUT "Интенсивность распределенной нагрузки q2  (кН/м) "; q2

INPUT "       q3  (кН/м) "; q3

INPUT "Сосредоточенная сила    P2  (кH)    "; P2

INPUT "Изгибающий момент    M2 (кНм) "; M2

INPUT "Отрезок балки     c1   (м)      "; c1

INPUT "Отрезок балки     c2   (м)      "; c2

INPUT "Пролет балки     L1   (м)     "; L1

INPUT "Пролет балки     L2   (м)     "; L2

INPUT "Точность вычисления опорных реакций  Е       "; E

A(1, 1) = L1-с1: A(1, 2) = 0:    A(1, 3) = 0

A(2, 1) = 0:   A(2, 2) = L1-с1: A(2, 3) = L2

A(3, 1) = L1-с1: A(3, 2) = 0:    A(3, 3) = -L2

B(1) = –q2*(L1-c1)*((L1-c1)/2) – q3*(L2-c2)*((L2-c2)/2) - P2*(L2-c2) + M2

B(2) = –q2*(L1-c1)*((L1-c1)/2) + q3*(L2-c2)*((L2-c2)/2) + P2*(L2-c2) - M2

B(3) = –q2*(L1-c1)*((L1-c1)/2) - q3*(L2-c2)*(((L2-c2)/2)+c2) - P2*c2 - M2 

'метод  Зейделя

Z(1) = 0: Z(2) = 0: Z(3) = 0

10 K = 0

FOR I = 1 TO N: R(I) = -B(I)

      FOR J = 1 TO N: R(I) = R(I) + A(I, J) * Z(J): NEXT J

      IF ABS(R(I) / A(I, I)) >= E THEN K = 1

      R(I) = Z(I) - R(I) / A(I, I):  Z(I) = R(I)

NEXT I

IF K = 1 THEN 10

PRINT "Опорные реакции балки"

FOR I = 1 TO N

PRINT USING "R(#) = #####.## kH"; I; R(I)

NEXT I

R1=R(1): R2=R(2): R3=R(3)

Y = R1 –  q2*(L1-c1) + R2

X = R3 - P2

IF ABS(Y) > .01 OR ABS(X) > .01 THEN

      PRINT "Ошибка вычисления опорных  реакций"

      PRINT "  Y = "; Y; "  X = "; X

      GOTO 100

END IF

PRINT  TAB(15) "Таблица ординат эпюр Q и M"

PRINT "S  Q  M  QQ  МM"

FOR S = 0 TO L1 + L2

  IF 0 <= S AND S < c1 THEN

    Q = 0

    M = 0

    GOTO 20

  END IF

  IF S = c1 THEN

    Q = R1

    M = 0

    QQ = R1+R2 - q2 * (S - c1)

    MM = -M2-R2*(L1-s)-R3*L2+P2*(L2-c2)+q3*(L2-c2)*((L2-c2)/2)+F2*((L1-s)/2)

    GOTO 30

  END IF

 IF c1 < S AND S < L1 THEN

    Q = R1 – q2 * (S-c1)

    M = -R1 * (S-c1) + q2 *(S - c1) * ((S - c1) / 2)

    GOTO 20

  END IF

 IF S = L1 THEN

    Q = R2 – q2 *(L1- c1) + R1

    M = q2*(L1-c1)*((S - c1) / 2) + R1*(s-c1)

    QQ = R2

    MM = -R3*L2 – M2 + P2*(L2-c2) + q3*(L2 – c2)*((L2 –  c2) /2)

    GOTO 30

  END IF

 IF L1 < S AND S < L1 + L2 - c2 THEN

    Q = -q3*(s-L1)

    M = -R1*(L1-c1) + q2*(L1-c1)*((L1 - c1)/2) + q3*(S – L1)*((S – L1)/2)

    GOTO 20

  END IF

 IF S = L1 + L2 - c2 THEN

    Q = -P2 - F3

    M = q3*(L2-c2)*((L2 – c2)/2) + q2*(L1 - c1)*((L1 - c1)/2)

    QQ =  - P2 + R3

    MM = -M2 - R3*c2

    GOTO 30

  END IF

  IF L1 + L2 - c2 < S AND S <= L1 + L2 THEN

    Q = -P2 - q3*(L2-c2)

    M = -R1*(L1-c1) + q2*(L1-c1)*((L1 - c1)/2) + M2 + P2*(s – L1 – L2 + c1) + q3*(L2 – c2)*(((L2 – c2)/2) + (s - L1 - L2 + c2))

  END IF

20 PRINT USING "##   #####.###   #####.###   #####.###   #####.###"; S; Q; M: GOTO 40

30 PRINT USING "##   #####.###   #####.###   #####.###   #####.###"; S; Q; M; QQ; MM

40 NEXT S

100 END  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11.Форма  ввода – вывода  информации.

Программу составил студент гр. 320881 Жуликов С.Д.”                       

Расчет жесткого стержня

Исходные данные

Интенсивность распределения нагрузки          q2(кH/м)= 5

Интенсивность распределения нагрузки          q3(кH/м)= 10

Отрезок балки                                                   c1(м)= 2

Пролет балки                                                      L1(м)= 6

Отрезок балки                                                     c2(м)= 4

Пролет балки                                                     L2(м)= 12

Круговой момент                                       M2(кH*м)= 10

Сосредоточенная сила                                    P2(кH)= 50

                                        

Результаты

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

12.Анализ  результатов.

Эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М. 

                      Q(kH)                                         M(kHм)         

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Анализ результатов  показал, что наиболее напряженные сечения стержня находятся в точках с координатами S=14м (Q=-8 kH, M=-5,3kHм) и S=6м (Q=-1kH, M=-8,5 кНм). 

13.Литература.

1.Данилина Н.И. Численные методы. – М.: Выш. шк. 1976г.-368 с.