Матричные игры

      Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях обоих участников ограничен нижней и верхней ценой игры. Если эти выражения будут равны, т.е. , то выигрыш игрока А – вполне определенное число, значит игра называется вполне определенной, а выигрыш – значением игры и равен элементу матрицы .

      Вполне  определенные игры называют играми с  седловой точкой. Элемент в матрице такой игры является одновременно минимальным в строке , максимальным в столбце и называется седловой точкой.

      Седловой  точке соответствуют оптимальные  стратегии игроков, их совокупность – это решение игры, которое обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его оптимальной стратегии не может быть выгодно.

     Точка называется седловой из-за формы графика функции выигрыша в точке , которая напоминает седло, убывая при изменении одной из переменных и возрастая при изменении другой переменной.

     Необходимо  отметить, что в случае, если цена антагонистической игры равна 0, игра называется справедливой. 

      Задача: определить верхнюю и нижнюю цены для игр, заданных платежными матрицами А и В:

Решение: минимальное значение в строках матрицы А равны соответственно 2,3,1. Максимальное значение из них равно 3. Следовательно, - нижняя цена игры, которой соответствует матрица , равна 3.

      Для определения  (верхней цены игры) найдем максимальные значения элементов в столбцах матрицы. По столбцам имеем: 4, 5, 6, 5. Следовательно, .

     Для матрицы  составляем аналогично и :

 и  .

Таким образом, - цена игры. Решение данной игры состоит в выборе игроком стратегии , при этом выигрыш составит не меньше 4, а для игрока стратегия , позволяющая ограничить проигрыш числом 3. 

      Игровые системы, содержащие  седловую точку, имеют заранее известное решение, т.к. каждый из игроков применяет свою оптимальную стратегию. Решение игры, матрицы которой не содержат седловой точки (т.е. ), довольно затруднительно. Каждый из игроков, применяя минимаксную стратегию, хочет обеспечит себе выигрыш ( не превышающий ) и проигрыш (не меньше ). Для каждого из игроков характерен вопрос о максимизации выигрыша и минимизации проигрыша. Поэтому поиски данного решения состоят в том, что игроки применяют несколько стратегий, причем их выбор осуществляется случайным образом, т.е. смешенной стратегией. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     Теория  игр – математический метод изучения оптимальной стратегии в играх. Несмотря на то, что предмет обладает несколько несерьезным названием, он имеет множество экономических приложений и это знание может помочь в оценке многих ситуаций. Теория игр позволяет оценивать игровые стратегии участников и выбрать лучший из предлагаемых вариантов.

     Именно  теория матричных игр позволяет  нам рассматривать и с легкостью решать задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого зависит также от решений принимаемых остальными участниками. Поэтому важную роль в матричных играх отводится конфликтам и совместным действиям.

     Теория  матричных игр широко нашла свое применение для анализа проблем  микроэкономики, а также и в  других сферах.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Замков  О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике / Под ред. А.В. Сидоровича. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2004. – с. 368
2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.П., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980. – с. 300
3. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. – М.: Книжный дом «Университет», 1998. – с. 304