Правильные многоугольники

 АУ СПО ЧТТПиК

 

 

 

 

 

 

               

                 Правильные многоугольники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнила студентка

Группы № 21

Молодцова Александра.

 

 

 

 

                              Чебоксары 2015.

 

Содержание:

 

 

1.Определение и применение.

2.Координаты, Размеры, Площадь, Периметр.

3.История

4. Список используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение и применение.

 

 

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

 

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

 

 

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

 

Древнегреческие математики (Антифон, Брисон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты, Размеры, Площадь, Периметр.

 

 

Координаты.

Пусть x_C и y_C — координаты центра, а R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, {\phi}_0 — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n — угольника определяются формулами:

 

где 

 

 

Размеры.

 

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

 

,

 

а длина стороны многоугольника равна

 

 

 

Площадь.

 

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны a составляет:

.

 

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R, составляет:

.

 

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r, составляет:

(площадь  основания n-угольной правильной  призмы)

 

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n равна:

 

,

где r — расстояние от середины стороны до центра, a — длина стороны.

 

Площадь правильного многоугольника через периметр (P) и радиус вписанной окружности (r) составляет:

 

.

 

 

 

 

Периметр.

 

Если нужно вычислить длину стороны(an) правильного n-угольника вписанного в окружность, зная длину окружности(L) можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

 

a_n — длина стороны правильного n-угольника.

 

 

Периметр P_n равен

 

           где n кол-во сторон многоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История.

 

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

 

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m — 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с  2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}  сторонами, где m — целое неотрицательное число, {p_1}, {p_2} — числа 3 и 5, а {k_1}, {k_2} принимают значения 0 или 1.

 

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}, где {k_0} — целое неотрицательное число, {k_1},{k_2},\dots,{k_s} принимают значения 0 или 1, а {p_j} — простые числа Ферма.

 

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

 

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

 

1. https://ru.wikipedia.org
2. http://www.bymath.net/